Neulich bekam ich zufällig eine Aufgabe zum Thema Differentialgleichung in die Hände. Speziell ging es um das Modell eines Feder-Masse-Dämpfer System. Dieser Aufbau dient oft als Referenz eines schwingungsfähigen Systems in der Mechanik.

Feder-Masse-Dämpfer System

 

Eine von außen angreifende Kraft F_e resultiert in einer Auslenkung x der Masse m. Gegen F_e wirken die Kräfte der Masse F_m,  der elastischen Feder F_c und des Dämpfers F_D entgegen. Die Summe aller Kräfte muss 0 ergeben, wobei die angegebenen Kräfte dabei einzeln betrachtet werden können.

Feder -> Kraft ist proportional zum Weg : 

    \[ F_c (t) = c \cdot x(t)\]

Masse -> Kraft ist proportional zur Beschleunigung:

    \[F_m (t) = m \cdot a(t)\]

Dämpfer -> Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit :

    \[ F_D(t) = D \cdot v(t)\]

Somit ergibt sich die Gleichung:

    \[  F_e (t) - F_c (t) - F_m (t) - F_D (t) = F_e (t) - c \cdot x(t) - m \cdot a(t)-D \cdot v(t) = 0\]

Umgestellt nach F_e:

    \[ F_e (t) = m \cdot a(t) + D \cdot v(t) + c \cdot x(t) = m \cdot \ddot x + D \cdot \dot x+ c \cdot x(t)\]

Wie man sieht, kann man das Feder-Masse-Dämpfer System auch als lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben.

Feder-Masse-Dämpfer System: Einschwingverhalten

In der gestellten Aufgabe wurde das System mit einem Kraftsprung angeregt und gesucht wurde der zeitliche Verlauf des Einschwingvorgangs. Das System sollte mit Matlab/Simulink modelliert und anschließend simuliert werden. Da im privaten Bereich Matlab/Simulink nicht so weit verbreitet ist, wird hier das Programm Scicos verwendet. Mit Scicos erstellt man grafisch die benötigten Modelle mit vorgefertigten Blöcken und kann sie dann simulieren.

Feder-Masse-Dämpfer Modell

Das Modell ist aus den Standardblöcken aufgebaut und ähneln Simulink sehr stark. Der Block „Loop Breaker“ wird benötigt, da das Feder-Masse-Dämpfer Modell in diesem Fall eine algebraische Schleife bildet. Das Oszilloskop zeigt den Kraftsprung und im gleichen Fenster die Auslenkung an.

Feder-Masse-Dämpfer Einschwingverhalten

In dem zeitlichen Verlauf sieht man sehr schön die Schwingungsfähigkeit des Feder-Masse-Dämpfer Systems und ab wann das System im eingeschwungenen Zustand ist.