Michael Gerhardy

Kopfrechnen: So geht’s !

Kopfrechnen – da zucken viele Schüler und Erwachsene erstmal zusammen. Wenn’s möglich ist, geht man ja meistens den bequemen Weg und sucht lieber erstmal den Taschenrechner. Auch wenn das oft länger dauert, als es im Kopf auszurechnen. Dabei gibt es viele nützliche Tricks, die einem das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von großen Zahlen erleichtert. Und nebenbei hält man auch so sein Gehirn in Trab, was ja auch nicht so schlecht ist.

Multiplikation mehrstelliger Zahlen

Fall: die ersten Ziffern sind gleich und die letzten Ziffern ergeben 10

In diesem Fall wird die vedische Regel “Einer mehr als davor” angewandt. Das Ergebnis wird aus zwei Schritten ermittelt:

1. Für das erste Teilergebnis wird die erste Ziffer der ersten Zahl mit der ersten Ziffer + 1 der zweiten Zahl multipliziert.
2. Die letzen beiden Ziffern werden multipliziert und an das erste Teilergebnis gesetzt.

Beispiel:

73 * 77 = ?????

1. Schritt: 7 * (7+1) = 7 * 8 = 56
2. Schritt: 3 * 7 = 21
3. Ergebnis: 5621

Fall: Multiplikation mit 11

Wenn ihr eine Zahl mit 11 multiplizieren wollt, addiert ihr einfach die beiden Ziffern und schiebt das Ergebnis zwischen die beiden Ziffern.

Beispiel:

11 * 45 = ???

1. 45: 4 + 5 = 9
2. die 9 jetzt zwischen die beiden Ziffern setzen: 4 9 5

Man muss aber etwas aufpassen, wenn die Summe im ersten Schritt größer oder gleich 10 ist. Dann muss man die Zehnerstelle noch zur ersten Ziffer addieren.

Beispiel:

11 * 84 = ???

1. 84: 8 + 4 = 12
2. jetzt die letzte Ziffer zwischen die 84 (824) und die 1 zu der 8 addieren: 924

Fall: zwei zweistellige Zahlen multiplizieren

Möchte man generell zwei Zahlen multiplizieren, dann multipliziert man die letzen beiden Ziffern. Die letzte Stelle vom Ergebnis notiert man, und den Rest merkt man sich. Nun die erste Zahl mit der letzten Ziffer der zweiten Zahl plus den gemerkten Rest addieren und vor das Teilergebnis schreiben.

Beispiel:

18 * 13 = ????

1. 8 * 3 = 24, die 4 ist das erste Teilergebnis
2. 18 + 3 = 21, hier noch die gemerkte 2 von oben addieren 21+2 = 23
3. Ergebnis: 234

Fall: große Zahlen multiplizieren

Große Zahlen, wie z.B. 93*97, kann man ganz leicht im Kopf multiplizieren. Dazu geht man folgendermaßen vor:

1. Differenz der ersten Zahl zu 100 bilden: 100 – 93 = 7
2. Differenz der zweiten Zahl zu 100 bilden: 100 – 97 = 3
3. Die beiden Ergebnisse (3 und 7) addieren (3+7=10)und von 100 abziehen: 100 – 10 = 90
4. Die beiden Ergebnisse multiplizieren: 3 * 7 = 21
5. Das Ergebnis aus 3. ist der vordere Teil, aus 4. der hintere Teil: 90 21

Chinesisch Multiplizieren

Die alten Chinesen habe einen sehr schöne Art gefunden, zwei Zahlen auf visuelle Weise zu multiplizieren. Dazu werden die Zehner und Einer-Stellen einer jeden Zahl als schräge Linien auf ein Blatt gemalt. Die Linien der zweiten Zahl kreuzen die erste Zahl. Zwischen den Zehner und Einer-Linien lässt man etwas Abstand. Die unten stehende Abbildung zeigt das Beispiel an einer Multiplikation von 32 * 23.

Die lila Linien stecken die 32 dar (3 Striche oben und 2 unten), die grünen Striche die 23 (2 unten, 3 oben). Um auf das Ergebnis zu kommen, werden die Kreuzungspunkte der Linien gezählt. Sollten die Kreuzungspunkte zweistellig werden, wird die 10er-Stelle zu der vorderen Stelle addiert. Im Beispiel hier wird die 1 der 13 zu der vorderen 6 addiert.

Bei größeren Zahl ist es sehr aufwendig, die Kreuzungspunkte zu zählen und es geht wohl mit anderen Techniken schneller, trotzdem finde ich das eine sehr schöne visuelle Art der Mathematik.

Zinsrechnung – die 70er-Regel

Bei der Zinsrechnung hat man in der Regel ein verfügbares Kapital, das man zu einem gewissen Zinssatz anlegt und so jährlich Geld bekommt. Aber nach welcher Zeit hat sich das Kapital verdoppelt? Mit der 70er-Regel findet man den Zeitraum im Nu heraus. Dazu einfach die Zahl 70 durch den Zinssatz teilen und man erhält die Jahre, nach denen sich das Geld verdoppelt hat.

Beispiel:

Man legt sein Geld mit 5% pro Jahr an, somit verdoppelt sich das angelegt Geld nach 70/5 = 14 Jahren (ungefähr).

Rechnerisch bekommt man nach 14 Jahren 97,99%, die oben genannte Vereinfachung liegt also relativ nah an dem rechnerischen Ergebnis.

Celsius in Fahrenheit und umgekehrt

Da hat uns Daniel Gabriel Fahrenheit ja was schönes eingebrockt. Im amerikanischen Raum wird die Temperatur in Grad Fahrenheit angegeben, was natürlich zu unserer Maßeinheit nicht kompatibel ist. Also muss man die Einheiten irgendwie umrechnen. Die exakte Formel von Celsius in Fahrenheit lautet °F = °C * 1,8 + 32. Schneller im Kopf geht’s aber, wenn man die Celsius-Zahl mit 2 multipliziert und dann 30 addiert:

20° C entspricht 20°C * 2 + 30 = 70° F

Exakt wären es 68° F, aber zum schnellen Überschlagen ist es wohl ausreichend.

P.S.: das Ganze geht natürlich auch umgekehrt – von Fahrenheit 30 abziehen und durch 2 teilen, dann hat man den Wert in Grad Celsius.

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